1985年全国初中数学联赛试题及精解
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设它是内接于圆的四边形，现给出四个关系：
（1）（2）（3）（4）
始终成立的关系数为
（A）一 （B）二 （C）三 （D）四
回答（）
解答：选择（B），因为圆是内接四边形，所以，和都不能
0° 和 180°，所以 (1) 始终为真；(2) 始终为假。同样，(3) 始终为真；(4) 仅在以下情况下为真。因此，只有 (1) 和 (3) 始终为真，因此选择 B。
2. 如果是大于 1 的整数，则
(A) 必须是偶数 (B) 必须是奇数
(C) 是偶数但不是 2 (D) 可以是偶数也可以是奇数
回答（）
解答：选（B）。当 为偶数时， 为奇数；当 为奇数时， ， 为偶数，所以 为奇数，所以 的值必定为奇数。所以选（B）。
3.在平行四边形中，是的中点，过 的平行线交于 ，连接 ， ， ， ， ，则图中存在与 面积相同的三角形，但 除外：
（A）三 （B）四
（C）五 （D）六
回答（）
解答：（C）根据题意条件，是的中点，因此图中有三类面积相等的三角形：
（1）有两个底和高都相同的三角形：
（2）有两个三角形，它们的边长是边长的两倍，高是顶高的一半：。
（3）有一个三角形的底和高都相等： ，所以一共有五个，选（C）。
4. 函数图像的一般形状是
（A）图1实线部分 （B）图2实线部分
（C）图3实线部分 （D）图4实线部分
回答（）
解答：（C）由于根为 0 和 1，
从二次函数的图形可以看出，函数图形的近似形状是图3中的实线部分。
因此选择（C）。
5. 表示数字的整数部分，如等。如果，
而在那时，；而在那时，；
当，；当，；则表达式等于
（A B C D）
回答（）
解答：（D）若 ，则当 ， ， ，因此 ，与问题矛盾，所以（A）是错误的。同样，若 ，我们可以得出结论（B）是错误的；若 ，我们可以得出结论（C）是错误的。因此，（D）是正确的。所以选择（D）。
6.如图，在等腰三角形中，是底边的高度，是腰的中点，交于，现给出三条路线：
设它们的长度分别为、、、，则有以下三个关系：
，，，可成立的案件数为：
（A）0 （B）1
（丙）2 （丁）3
回答（）
解答：（B）根据题目条件， 是 的重心，因此，
因为，通过了解，
， 所以
那是，
当它是等边三角形时，，，所以这个说法并不总是正确的。
何时，何时，
因此，不等式并非永远成立，也就是说，在三个不等式中，只有一个永远成立。因此，答案为（B）。
二、填空题（每题5分，共30分）
1. 设，，则的值为________。
解答： 填写。
原始公式=。
方法 2：设
∴，也就是。
2. 如果等式的一个根加3，是另一个根的80倍初中数学联赛试题，则=__________。
解答：填入1985。设方程的两个根为，根据题意，有，即
同样，∵，∴，因此，
然后。
3、有 A、B、C 三种商品，如果你购买 A 3 件、B 7 件、C 1 件，一共需要 3.15 元，如果你购买 A 4 件、B 10 件，一共需要 4.20 元酷24体育,，现在你需要 __________ 元来购买 A 1 件、B 1 件、C 1 件。
解答：填写1.05元，假设购买1件A产品、1件B产品、1件C产品需要花费 元，根据题目，我们有
现在
因此购买A、B、C各一件的成本为1.05元。
4.这个不等式的解是__________。
解：原不等式可改写为
（1）此时原不等式的解集为；
（2）此时原不等式的解集为；
（3）此时原不等式无解；
5. 给定两个数和 1，如果只允许加、减、以及将 1 作为被除数的除法（可以使用括号），计算分为六步，则表达式为 __________。
解答：表达式为或。
也可以写成或
6. 在正实数集上定义一个运算*初中数学联赛试题，其规则为：当 ， ；当 。根据此规则，方程的解为 __________。
解决方案：填写，或
如果，那么，再次，∵，∴，∴；
如果，那么，再次∵，∴，∴
所以方程的解是 3*x=27。
3.如图，是凸五边形内部的一个点，且，，，。
证明：相等或补集。
证明 1：根据正弦定理和已知条件，我们得到
因此，sin∠10=sin∠9，所以∠9与∠10相等或互补。
证明2：由于与给定线段夹角为给定角的点的轨迹为两条与给定线段夹角为给定角的相等圆弧。[与给定线段两个端点连线的夹角等于给定角的点的轨迹为两条圆弧（不包括端点），它们与给定线段弦的圆心角等于给定角]，故由∠1=∠2可知 的外接圆等于 的外接圆；类似地 的外接圆等于 的外接圆； 的外接圆等于 的外接圆； 的外接圆等于 的外接圆； 的外接圆等于 的外接圆；
所以 的外接圆等于 的外接圆，所以 ∠9 与 ∠10 相等或互补。
4. 如图所示， ，分别与 ，半径和相切； ，分别是两个圆的切线，
，为切点；与 相交于点。
确认：。
证明1：如图1所示，连接
则三点共线，∵，
∴∽,∴
，所以是的角平分线，即∠1=∠2，连接，从，得到∽
∴，也就是说，因为∠3=∠4，∠1=∠2，我们知道
∴
证明2：如图2所示，将交点⊙延长于，画一条与交点延长线平行的直线于，并连接交点延长线于。由于三点共线，可知∴，从而∥
又，∵∥， ，∴， 是 的切线， 是切点。
∵∥，∴，∴
毓芝
再说一遍，∴∴
再次，
设相交于，为∴的角平分线，因此
∴再说一遍，∴，∴。
5. 有一个长方体，其长、宽、高分别为正整数，，，表面涂成红色，然后切成边长为1的正方体，求不带红色的正方体个数与两条边为红色的正方体个数减去一条边为红色的正方体个数之和为1985，求，，的值。
解答：（1）若无解，则∴根据题意，不带红色的立方体数量为，一面为红色的立方体数量为，两面为红色的立方体数量为，因此有
∴ 或 ∴ 或
∴，或
（2）如果根据题目，非红色立方体的数量为 ，一面为红色的立方体的数量为 ，两面都为红色的立方体的数量为 ，则 和 显然都是偶数。
（3）如果根据问题，非红色立方体的数量为；
一面为红色的立方体的数量是；
具有两个红色面的立方体的数量是；
因此我们有
那是
∵
∴ 或 或
∴ 或 或
概括起来，符合题目要求的有五组：
；
；
；
；
*六。桌上有五枚硬币，所有硬币正面朝上。如果你每次随机抛四枚硬币，经过一定次数后初中数学联赛试题，你能使所有硬币背面都朝上吗？
答案：不是。任何一枚硬币，抛一次背面朝上，抛两次背面朝下。一般来说，抛奇数次背面朝上，抛偶数次背面朝下。
如果五枚硬币都正面朝上，则每枚硬币将被翻转相同的次数。
（所有都是正整数），
总共翻转次，且本次结果为奇数次；
另一方面，如果我们每次随机抛四枚硬币，并假设通过抛 4 次就可以将所有 5 枚硬币翻过来kaiyun下载app下载安装手机版,，那么我们总共需要抛 4 4次，这是一个矛盾。
因此无论翻转多少次，背面都无法完全翻转。
2024欧洲杯 酷24体育 kaiyun下载app下载安装手机版 云开·全站appkaiyun官网
