一、适用条件
【直线通过焦点】，必然有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴的夹角，为锐角。 x 是分离比，必须大于 1。
注：以上公式适用于所有圆锥曲线。 如果焦点内分（指焦点在截取的线段上），则使用此公式； 如果向外划分（重点是截取线段的延长线），则右侧为（x+1）/（x-1），另一侧不变。
2.函数的周期性问题（背三）
(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k； (2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k； (3)若f(x)=f(x+k)+f(xk)，则T=6k。
注：a. 对于周期函数，周期必须是无限的。 b. 周期函数可能没有最小周期，例如常数函数。 C。 周期函数与周期函数相加不一定是周期函数，例如：x与y=sinxy=sin相加就不是周期函数。
3.关于对称问题（无数人想不通的问题），总结如下
(1) 若在 R 上满足（下同）：f(a+x)=f(bx) 始终为真维维安尼定理，对称轴为 x=(a+b)/2 (2) 函数 y= f(a+x ) 且 y=f(bx) 的图像关于 x=(ba)/2 对称； (3) 若f(a+x)+f(ax)=2b，则f(x)的像关于(a,b)中心对称
4. 功能对等
(1) 对于R上的奇函数，f(0)=0； (2) 对于包含参数的函数，奇函数没有偶次项，偶函数没有奇次项。 (3) 奇偶校验影响不大，一般用于填空
5. 序列爆炸法
(1)等差数列中：S odd = na，例如S13 = 13a7（13和7为下标）； (2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)构成等差数列(3)。 在等比数列中，当公比不为负数时，上述两项相等。 然而，当q＝-1时，(4)等比可能不成立。 序列爆炸式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以快速求出q
6.序列的终极武器，特征根方程
首先介绍公式：对于an+1=pan+q（n+1为下标，n为下标），a1已知，则特征根x=q/(1-p)，则通式为序列为 an =(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的应用。
第二级有点麻烦，不常用。 所以我不会详细介绍。 希望同学们牢记上面的公式。 当然，这种类型的数列是可以构造的（两边的数字同时相加）
7. 功能详解
1、复合函数的奇偶性：即使里面是偶数，里面的奇数也和外面一样。 2、复合函数的单调性：同增异减。 3.关于三次函数的关键知识：恐怕没有多少人知道三次函数曲线实际上是中心对称图形。
它有一个对称中心。 方法是求二阶导数维维安尼定理，然后导数为0。根x为中心横坐标。 可以通过将 x 带入原始函数来定义纵坐标。 此外，必须有一条穿过中心且与两侧相切的直线。
8、常用序列bn=n×(2²n)和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2
前面减一个1，后面加一个，最后加一个2。
9、适用于标准方程的爆炸强度公式（重点关注x轴）
k 椭圆=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝k 双={(b²)xo｝/{(a²)yo｝k 投掷=p/yo
注：(xo,yo) 是穿过圆锥曲线的直线所切线段的中点。
10. 强烈建议两条直线相互垂直或平行。
已知直线L1：a1x+b1y+c1=0 直线L2：a2x+b2y+c2=0 若垂直：（充要条件）a1a2+b1b2=0； 如果平行：（充要条件）a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1【这个条件是为了防止两条直线重叠）
注意：上面两个公式避免了坡度是否存在的麻烦，直接杀掉！
11.经典中的经典
我相信每个人都知道破坏性邻居。 让我们看看隔膜抵消： 对于 Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2 [ 1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
注：添加替代术语时，保留四个术语，即前两项和后两项。 自己把公式写在草稿纸上酷24体育,，看起来清新又工整！
12、爆炸强度△面积公式
S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n)，向量BC=(p,q)
注：这个公式可以解决求给定三角形三点坐标的面积的问题。
13.你知道吗？ 空间立体几何中：下列命题都是错误的
（1）空间中的三个不同点确定一个平面（2）垂直于同一条直线的两条直线平行（3）两个对边相等的四边形是平行四边形（4）如果一条直线垂直于无数条直线平面内的直线，则垂直直平面（5）有两个相互平行的面，其他面是平行四边形。 它是一个棱镜。 (6) 一个面为多边形，其余面为三角形的物体是棱锥体。
注：不适用于初中生。
14.一点知识点
所有边长相等的金字塔可以是三棱锥、四棱锥或五棱锥。
15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣xn∣的最小值（n为正整数）
答案是：当n为奇数时，最小值为(n²-1)/4，即x=(n+1)/2时得到；
当n为偶数时，最小值为n²/4，当x=n/2或n/2+1时获得。
16. √[(a²+b²)]/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)（a、b为正数，为统一域）
17.椭圆焦三角形面积公式
S=b²tan(A/2)双曲线：S=b²/tan(A/2)
说明： 适用于以 x 轴为焦点的标准圆锥曲线。 A是两个焦点半径之间的角度。
18.爆炸强度定理
空间向量的三个公式解决了所有问题： cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模×向量b的模] (1) A是线与线之间的角度 (2) A是线与线之间的角度和面（但公式中cos被sin代替） (3) A为面与面之间的角度。 注：以上角度范围为[0，Pa/2]。
19.爆炸配方
1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)²
20.爆炸强度正切方程记忆法
写成对称形式，改变x和y
例如：对于 y²=2px，您可以将其写为 y×y=px+px，然后将 (xo, yo) 添加到其中之一：y×yo=pxo+px
21.爆炸强度定理
(a+b+c)²n [合并后]展开式的项数为：Cn+22，n+2 在底部，2 在顶部
22.转变思想
切线长度l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心的距离，r是圆的半径，d是圆心到圆心的最小距离直线。
23. 对于 y²=2px
通过焦点的两个相互垂直的弦AB和CD的最小和为8p。 爆炸强度定理证明：对于y²=2px，假设通过焦点的弦的倾斜角度为A，那么弦长可以表示为2p/[(sinA)²]，因此垂直于它的弦长是 2p/[(cosA)² ]所以根据三角知识可以知道总和。 （题意是弦AB经过焦点，CD经过焦点，AB垂直于CD）
24.一个重要的绝对值不等式简介
∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
25. 解决包含 ln 的不等式的想法
示例：证明 1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)
将左侧视为 1/n 之和，右侧视为 Sn。
解：设an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，则只需证明an>bn，根据知识得出y=1定积分/x 图片。 an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。 当然，之前我们需要证明1>ln2。
注：仅供有能力的童鞋参考！！ 另外，这种方法还可以推广，即将左右两边看成序列之和，可以证明面积大小。 注：前提是包含ln。
26.爆炸强度的简单公式
矢量a到矢量b的投影为：[矢量a×矢量b的量积]/[矢量b的模]。记忆方法：哪个投影除以哪个模
27.解释一个容易出错的点
如果f(x+a)[a任意]是奇函数，那么结论是f(x+a)=-f(-x+a)[等式右边不是-f(- xa)]。 类似地，如果 f(x+a) 是偶函数，我们可以得到 f(x+a)=f(-x+a) 记住
28.偏心爆炸强度公式
e=sinA/(sinM+sinN)
注：P 为椭圆上一点，A 为角 F1PF2，两个腰角为 M、N。
29、椭圆的参数方程也是个好东西，它可以解决一些最优值问题。
例如，x²/4+y²=1 查找 z=x+y 的最大值。 解：设x=2cosay=sina，然后用三角形作界。 不知道比你去=0快多少倍！
30.爆款配方仅供有能力的童鞋参考
和差积 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/ 2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2 ]
乘积和差 sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+ sin (α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
31.爆炸强度定理
直观图片的面积是原图片的√2/4倍。
32.三角形垂直中心爆炸强度定理
(1)矢量OH=矢量OA+矢量OB+矢量OC（O为三角形外心，H为垂心）
(2) 若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图上，则其纵心也在该函数的图上。
33.维维亚尼定理（不是很重要（只是为了好玩））
等边三角形内（或边界上）任意一点到三边的距离之和是一个固定值，等于三角形的高。
34.爆炸性的想法
如果两个根的乘积x1x2=m，则两个根的和x1+x2=n
我们应该形成一个想法，就是回去构造一个二次函数，然后用大于等于0的△来得到m和n的范围。
35. 共同结论
通过 (2p, 0) 的直线与抛物线 y²=2px 相交于两点 A 和 B。
O为原点，连接到AO.BO。必须有一个角AOB=90度
36.爆炸配方
ln(x+1)≤x(x>-1) 这个公式可以有效解决证明不等式的问题。
示例：ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)
37. 函数 y=(sinx)/x 是偶函数
它在 (0, pi) 上单调递减，在 (- pi, 0) 上单调递增。
上述属性可用于比较大小。
38. 函数
y=(lnx)/x 在 (0, e) 上单调增加，在 (e, + 无穷大) 上单调减少。
另外，y=x²(1/x)与函数的单调性一致。
39.数学中的几个常见错误
(1)f`(x)
40. 提高计算能力的五个步骤
（1）扔掉计算器（2）仔细审题（建议慢慢看题，快速做题）。 要知道，如果你不把题看清楚，你算再多也是没有用的。 （3）记忆常用数据，掌握一些快速计算技巧（4））加强心算和估计能力（5）测试
41. 一个美妙的公式
已知三角形AB=a云开·全站appkaiyun官网,，AC=b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC（即量积）=(1/2)[b²-a²] 证明：画出BC 垂直于 O，转换为已知边
42. 函数
①函数单调性的含义：大多数同学都知道，如果一个函数在区间D上单调，则函数值随着自变量的增加（减少）而增加（减少），但有些人可能不理解这个含义。 显然，如果函数在 D 上单调，则函数必定是连续的（分段函数是另一回事）。 这也解释了为什么y=tanx在域中不能说是单调递增的，因为它的图像被无限渐近线遮挡。 ，换句话说，是不连续的。 另外，如果函数在 D 上单调，则该函数在 D 上的 y 和 x 之间具有一一对应关系。这可以用于求解一些方程。 我不会举例。
②函数周期：这里主要总结一些函数方程所要表达的周期。 设f(x)为R上的函数。对于任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=( ba)（加上绝对值，下同） (2)f (a±x)=-f (b±x)T=2(ba)(3)f(xa)+f(x+a)=f( x)T=6a(4) 假设 T≠0，f (x+T)=M[f(x)]，其中 M(x) 满足 M[M(x)]=x，且 M(x)≠ x，则函数的周期为 2
43.奇偶函数概念的推广
(1) 对于函数f(x)，若存在常数a使得f(ax)=f(a+x)，则f(x)称为广义(I)型偶函数，且当有两个不同的实数a和b满足时，f(x)是周期函数T=2(ba)
(2) 若f(ax)=-f(a+x)，则f(x)为广义(I)型奇函数。 当有两个不同的实数a和b时，f(x)是周期性的。 函数T=2(ba)
(3) 当有两个实数a、b满足广义奇偶函数方程组时，称f(x)为广义(II)型奇函数或偶函数。 如果 f(x) 是广义类型 (II) 的偶函数，则当 f 是 [a+b/2,∞) 上的增函数时，有 f(x1)
44.函数对称性
(1) 若 f(x) 满足 f(a+x)+f(bx)=c，则函数关于 (a+b/2, c/2) 中心对称 (2) 若 f(x) 满足f( a+x)=f(bx) 则函数关于直线 x=a+b/2 轴对称
柯西函数方程： 若 f(x) 连续或单调 (1) 若 f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0)，则 f(x)=㏒ax( 2）如果f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0)，则f(x)=x²u（u由初始值给出） (3)f(x+y) ) =f(x)f(y) 则 f(x)=a²x(4) 如果 f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，则 f(x)=ax2+bx( 5 )如果f(x+y)+f(xy)=2f(x)，则f(x)=ax+b 特别是如果f(x)+f(y)=f(x+y)维维安尼定理，则f (x)=kx
45.与三角形有关的定理或结论。 中学数学中平面几何最基本的图形是三角形。
①正切定理（我自己取的，因为不知道名字）：在非Rt△中，有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ②任意三角形的投影定理（又称为第一余弦定理）：在△ABC, a= bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA ③任意三角形的内切圆半径为r=2S/a+b+c（S为面积），则半径外接圆应已知 ④墨涅拉俄斯定理：设A1、B1、C1分别为△ABC、BC、CA、AB三边所在直线上的点。 那么A1、B1、C1共线的充要条件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B= 1
46.容易出错的点
（5）在数列求和中，常用的错位减法始终是避免粗心误算的一种方法：写第二步时，提出公差，对括号内的等比数列求和，最后去掉系数； (6)序列中常用变形公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]求和保留四项
47. 常见错误
(7)序列不考虑a1是否符合基于sn-sn-1得到的通式； (8)序列不是简单的全实数函数，即在序列最优值的推导和研究过程中要注意是否得到问题
48. 常见错误
(9)向量运算并不完全等同于代数运算； (10)模运算过程中对向量求平方后，忘记平方根。比如这类选择题中经常出现2和√2的答案……基本上都是选√2，2就是选择是因为没有平方根； (11)复数的几何意义不清楚。
49.关于辅助角公式
asint+bcost=[√(a²+b²)]sin(t+m) where tanm=b/a[条件：a>0] 注：有些同学习惯考虑sinm或cosm来确定m。 个人认为这太容易出错，最好的办法就是确定m。 基于 tanm（见上文）。 例如：sinx+√3cosx=2sin(x+m)，因为tanm=√3，所以m=60度，所以原公式=2sin(x+60度)
50. A 和 B 是椭圆 x²/a²+y²/b²=1 上的任意两点。 如果 OA 垂直于 OB，则 1/∣OA∣²+1/∣OB∣²=1/a²+1/b²
过去的亮点：
2024欧洲杯 酷24体育 kaiyun下载app下载安装手机版 云开·全站appkaiyun官网
