1、适用条件：【一条直线穿过焦点】维维安尼定理，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴的夹角，这是一个锐角。 x 是分离比，必须大于 1。
【注】上式适用于所有圆锥曲线。 如果焦点内分（指焦点在截取的线段上），则使用此公式； 如果向外划分（重点是截取线段的延长线），则右侧为（x+1）/（x-1），另一侧不变。
2、函数的周期性问题（熟记三个）：
(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k；
(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k；
(3)若f(x)=f(x+k)+f(xk)，则T=6k。
[注]a. 周期函数必须具有无限周期。 b. 周期函数可能没有最小周期，例如常数函数。 C。 周期函数与周期函数相加不一定是周期函数，例如：x与y=sinxy=sin相加就不是周期函数。
3.关于对称性问题（无数人想不通的问题），总结如下：
(1) 若在R上（下同）：f(a+x)=f(bx)始终为真，则对称轴为x=(a+b)/2；
(2) 函数y=f(a+x)和y=f(bx)的图像关于x=(ba)/2对称；
(3) 若f(a+x)+f(ax)=2b2024欧洲杯,，则f(x)图像关于(a,b)的中心对称
4、功能奇偶性：
(1) 对于R上的奇函数，f(0)=0；
(2) 对于包含参数的函数，奇函数没有偶次项，偶函数没有奇次项。
(3)奇偶校验作用不大，一般用于填空。
5、数爆炸定律：
1、等差数列中：S odd=na，例如S13=13a7（13和7为下标）；
2、算术序列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)构成算术；
3、在等比数列中，当公比不为负1时，上述2项是成正比的，但当q=-1时，则不一定成立；
4、等比数列爆炸强度公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以快速求出q；
6.序列的终极武器，特征根方程。 （如果看不懂，就算了）。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q（n+1为下标，n为下标），a1已知，则特征根x=q/(1-p)，则通式为序列为 an =(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的应用。
第二级有点麻烦维维安尼定理，不常用。 所以我不会详细介绍。 希望同学们牢记上面的公式。 当然，这种类型的数列是可以构造的（两边的数字同时相加）
7、功能详细说明：
(1)复合函数的奇偶性：内侧为偶数则为偶数，内侧为奇数则与外侧相同。
(2)复合函数的单调性：同增异减
（3）关于三次函数的关键知识：恐怕没有多少人知道三次函数曲线实际上是一个中心对称图。 它有一个对称中心。 方法是求二阶导数，然后导数为0。根x为中心横坐标。 可以通过将 x 带入原始函数来定义纵坐标。 此外，必须有一条穿过中心且与两侧相切的直线。
8、常用序列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2记忆方法：
前面减一个1，后面加一个，最后加一个2。
9、适用于标准方程的爆炸强度公式（重点关注x轴）：
k 椭圆=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝k double={(b²)xo｝/{(a²)yo｝k throw=p/yo 注：(xo,yo)均为直线圆锥曲线的截面的中点。
10. 强烈建议两条直线相互垂直或平行：
已知直线L1：a1x+b1y+c1=0是直线，L2：a2x+b2y+c2=0如果垂直的话：（充要条件）a1a2+b1b2=0；
如果平行：（充要条件）a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1【这个条件是为了防止两条直线重叠）注：上面两个公式避免了斜率是否存在的麻烦，是一个万无一失的解决方案！
11、经典中的经典：邻居取消相信大家都知道。 让我们看看替代期限取消：
对于 Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2- 1/(n+1)-1/(n+2)]
注：添加替代术语时，保留四个术语，即前两项和后两项。 自己把公式写在草稿纸上，看起来清新又工整！
12、爆炸强度△面积公式：S=1/2∣mq-np∣其中矢量AB=(m,n)，矢量BC=(p,q)
注意：这个公式可以解决求给定三角形三点坐标面积的问题！
13.你知道吗？ 在空间立体几何中：下列命题都是错误的：
1、空间中的三个不同点确定一个平面；
2、垂直于同一条直线的两条直线平行；
3、两组对边相等的四边形是平行四边形；
4、如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则该直线垂直于该平面；
5、两个面相互平行且其他面均为平行四边形的几何体是棱柱；
6. 任何具有一个多边形面且所有其他面均为三角形的几何体都是金字塔。
注：不适用于初中生。
14.一个小知识点：所有边长相等的金字塔可以是三棱锥、四棱锥或五棱锥。
15. 求 f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣xn∣（n 为正整数）的最小值。
答案是：当n为奇数时，最小值为(n²-1)/4，即x=(n+1)/2时得到；
当n为偶数时维维安尼定理，最小值为n²/4，当x=n/2或n/2+1时获得。
16. √[(a²+b²)]/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)（a、b为正数，为统一域）
17、椭圆中焦点三角形面积公式：S=b²tan(A/2)； 双曲线：S=b²/tan(A/2)
说明： 适用于以 x 轴为焦点的标准圆锥曲线。 A是两个焦点半径之间的角度。
18.用空间向量的三个公式解决所有问题：
cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模×向量b的模]|
1：A是线之间的角度，
2：A为直线与平面的夹角（但公式中cos替换为sin）
三：A是面之间的角度。 注：以上角度的范围为[0,Pai/2]。
19、爆炸强度公式 1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+ 1 )²
20、记忆爆炸强度正切方程的方法：写成对称形式，改变x和y。
例如：对于 y²=2px，您可以将其写为 y×y=px+px，然后将 (xo, yo) 添加到其中之一：y×yo=pxo+px
21、爆炸强度定理：(a+b+c)²n的展开式【合并后】项数为：Cn+22，n+2在下，2在上
22、【思路转化】切线长度l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心的距离，r为圆的半径，d为距圆外一点的最小距离圆心到直线。
23. 对于y²=2px，通过焦点相互垂直的两条弦AB和CD的总和至少为8p。
爆炸强度定理证明：对于y²=2px，设通过焦点的弦的倾斜角度为A，则弦长可表示为2p/[(sinA)²]，因此垂直于它的弦长是2p/[(cosA)²]，所以根据三角知识可以知道总和。 （题意是弦AB经过焦点，CD经过焦点，AB垂直于CD）
24.一个重要的绝对值不等式介绍：∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
25. 解决包含 ln 的不等式的想法：
例：要证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)，左边视为1/n之和，右边视为Sn。
解：设an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，则只需证明an>bn，根据知识得出y=1定积分/x 图片。 an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。 当然，之前我们需要证明1>ln2。
注：仅供有能力的童鞋参考！！ 另外，这种方法还可以推广，即将左右两边看成序列之和，可以证明面积大小。 注：前提是包含ln。
26、爆炸强度简明公式：向量a在向量b上的投影为：[向量a×向量b的量积]/[向量b的模]。记忆方法：哪个投影除以哪个模
27.解释一个容易出错的点：如果f(x+a)[a任意]是奇函数，那么结论是f(x+a)=-f(-x+a)[右边方程的不是 -f (-xa)]，类似地，如果 f(x+a) 是偶函数，则 f(x+a)=f(-x+a) 记住！
28、偏心爆炸强度公式：e=sinA/(sinM+sinN) 注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M、N
29、椭圆的参数方程也是个好东西，它可以解决一些最优值问题。 例如，x²/4+y²=1 查找 z=x+y 的最大值。 解：设x=2cosay=sina，然后用三角形作界。 不知道比你去=0快多少倍！
30.【仅供有能力的童鞋参考】】爆炸配方：
和差积
sinθ+sinΦ=2sin[(θ+Φ)/2]cos[(θ-Φ)/2]sinθ-sinΦ=2cos[(θ+Φ)/2]sin[(θ-Φ)/2]cosθ+ cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
产品之和与差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α- β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
31、爆炸强度定理：直观图的面积是原图的√2/4倍。
32、三角形垂心爆炸强度定理：
1、矢量OH=矢量OA+矢量OB+矢量OC（O为三角形外心，H为垂心）
2、如果一个三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图上，那么它的纵心也在这个函数的图上。
33、维维亚尼定理：等边三角形内（或边界上）任意一点到三边的距离之和为一个常数值，这个常数值等于三角形的高。
34、爆炸思路：如果两个根x1x2=m的乘积和两个根x1+x2=n的和，我们应该形成一个想法，即回去构造一个二次函数，然后用△大于或等于0，即可得到m和n的范围。
35、常用结论：经过(2p,0)的直线与抛物线y²=2px相交于A、B两点。O为原点，连到AO.BO。必有夹角AOB=90度
36、爆炸强度公式：ln(x+1)≤x(x>-1) 该公式可以有效解决证明不等式的问题。
示例：ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)
37. 函数 y=(sinx)/x 是偶函数。 它在 (0, pi) 上单调递减，在 (- pi, 0) 上单调递增。 上述属性可用于比较大小。
38. 函数 y=(lnx)/x 在 (0, e) 上单调增加，在 (e, + 无穷大) 上单调减少。 另外，y=x²(1/x)与函数的单调性一致。
39、数学中的几个常见错误：
1.f`(x)
2.在研究函数的奇偶性时，忽略第一步也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称！；
3、使用不等式时，一定要考虑是否得到“=”符号！
4、研究数列问题时，不要考虑分项。 这意味着有时第一项不符合通式酷24体育,，所以你应该极其小心：在研究序列问题时，你必须考虑是否需要子项！
40. A 和 B 是椭圆 x²/a²+y²/b²=1 上的任意两点。 如果 OA 垂直于 OB，则 1/∣OA∣²+1/∣OB∣²=1/a²+1/b²
期中考试后成绩提高计划
近日，大部分学校的期中考试即将结束。 成绩出来后，除了分数和排名，家长还应该关注什么？
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