四年级数学奥林匹克竞赛第二部分
第7讲行程问题
本讲，我们研究两个运动物体同向运动时距离、速度、时间这三个基本量之间的关系。
例1 下午放学，弟弟以每分钟40米的速度步行回家。 五分钟后，哥哥也以每分钟60米的速度从学校步行回家。 哥哥出发后，需要多少分钟才能追上弟弟？ （假设从学校到家足够远，即哥哥追上弟弟时，他还没有回家）。
分析：如果过去了5分钟，弟弟已经到达A点，此时弟弟已经走了40×5=200（米）； 哥哥每分钟比弟弟多走20米。 追200米需要多少分钟？
解：40×5÷(60-40)
=200÷20
=10（分钟）
答案：10分钟内哥哥就能追上弟弟。
我们将示例 1 等问题称为追赶问题。 如果我们将起始时刻前后两个物体（或人）之间的距离称为距离差（如例1中的200米），那么追赶问题从起始时刻到后者距离所花费的时间前者与前者之间的差值称为追赶时间。 从示例 1 中，很容易看出追赶问题具有以下基本关系：
距离差=速度差×追赶时间。
如果其中两个量已知，则根据上式可以很容易地求出第三个量。
例2 A、B正在练习跑步。 如果A让B先跑10米，A跑5秒就能追上B； 如果A让B先跑2秒，A跑4秒就可以追上他。 B、问：A、B 的速度是多少？
分析：如果A让B先跑10米，那么10米就是A和B之间的距离差，5秒就是追赶时间。 据此，可计算出它们的速度差为10÷5=2(m/s)； 如果A先让B跑2秒，那么A跑4秒就可以追上B。 在这个过程中，追上的时间为4秒，所以距离差等于2×4=8（米），即B可以在2秒内追上B。 它跑了8米，所以可以求出B的速度，也可以求出A的速度。 综合计算公式如下：
解：B的速度为：10÷5×4÷2=4（m/s）
A的速度为：10÷5+4=6（米/秒）
答案：A的速度是6米/秒，B的速度是4米/秒。
例3：一个人沿着与铁路平行的笔直路径从西向东行走。 这时，一列520米长的火车从后面驶来。 步行时，该人测量整列火车的通过时间为42秒，在这段时间里，他走了68米。 这列火车的速度是多少？
分析整列火车通过的时间为42秒。 这句话的意思是：从火车头追上行人到火车尾部追上行人甲骑自行车从a地出发，需要42秒。 因此，如果我们把火车的运动看成火车的尾部在运动的话，那么这个问题实际上就是一个追赶车尾和人的问题。 一开始，它们之间的距离差等于火车的长度甲骑自行车从a地出发，追赶时间等于42秒。 因此，可以计算出它们的速度差，从而求出火车的速度。
解：520÷42+68÷42
=(520+68)÷42
=588÷42
=14（米/秒）
答：火车的速度是14米/秒。
例4 幸福村小学有一条200米长的环形跑道。 东东和晶晶同时从起跑线出发。 东东跑6米每秒，晶晶跑4米每秒。 温东东第一时间追上来。 当晶晶第二次追上晶晶时，他们各自跑了多少米，当晶晶第二次追上晶晶时，他们各自跑了多少圈？
分析这是封闭航线上的追赶问题，东东和晶晶同时从同一个地方出发，同一个方向。 因此，当东东第一次追上晶晶时，他比晶晶跑的距离正好是圆形跑道的周长（200米），而东东和晶晶的速度是已知的。 因此，根据追击问题之间的基本关系，可以求出他们各自的追击时间和行驶距离。
解：①东东第一次追上晶晶需要的时间：
200÷(6-4)=100(秒)
②东东第一次追上晶晶时跑的距离应为：6×100=600（米）
③晶晶第一次被追上时跑的距离：
4×100=400（米）
④东东第二次追上晶晶时跑的圈数：
(600×2)÷200=6（圈）
⑤晶晶第二次被追上时跑的圈数：
(400×2)÷200=4（圈）
答：有一点。
解决封闭路线追赶问题的关键是要掌握平行到下一次追赶的距离差恰好是一圈的长度。
例5 在一次军事演习中，“我方”海军英雄舰追击“敌方”军舰。 到达A岛时，“敌”船已于10分钟前逃走。 “敌”船每分钟行驶1000米。 “我方”海军英雄舰的航行速度为每分钟1470米，可在距离“敌”舰600米的地方发射大炮。 “我的”海军英雄舰从A岛出发后，需要多少分钟才能向敌舰射击？
分析：当“我”船追至A岛时，“敌”船已逃窜10分钟。 因此，当我们在A岛时，“我方”船与“敌方”船之间的距离为10000米（=1000×10）。 并且因为“我”舰可以在距“敌”舰600米的距离处开火，即“我”舰追上“敌”舰后可以在9400米（=10000米-600米）处开火。 因此，这道题，不妨将9400视为距离差甲骑自行车从a地出发，根据公式计算追赶时间。
解：(1000×10-600)÷(1470-1000)
=(10000-600)÷470
=9400÷470
=20（分钟）
答：20分钟后即可向“敌”船开火。
例6 在一条笔直的道路上，A、B地点相距600米。 张明时速4公里，李强时速5公里。 8时许，张某、李某同时从A地、B地出发。 他们出发，朝对方走去。 1分钟后，他们全部转身，朝相反的方向走去。 又过了三分钟，两人转身又朝对方走去。 他们转身按照1、3、5、……（连续奇数）分钟的顺序行走。 那么张和李两人见面的时候是晚上八点多钟？
分析：无论向反方向还是反方向移动，张、李每分钟总共行走4000÷60+5000÷60=150（米）。 如果他们继续朝同一个方向走，那么他们将从起点出发走600÷150=4（分钟）。 人们相遇。 显然，按照现在的走法，16分钟内（=1+3+5+7）两个人不会见面。 在这16分钟内，他们向对方走6分钟（=1+5），向相反方向走10分钟（=3+7）。 此时，两人之间的距离为600+[150×(3+7-1-5)]=1200米。 因此，再次向相反的方向走，他们经过了1200÷150=8（分钟）后就可以见面了。
解：600+150×(3+7-1-5)=1200（米）
1200÷(4000÷60+5000÷60)=8（分钟）
1+3+5+7+8=24（分钟）
答：两人见面的时候是8点24分。
例7：自行车队出发12分钟后，记者骑着摩托车追赶他们。 他在距起点9公里处追上了自行车队。 随后记者立即返回出发点； 然后他又回来追自行车队，再次追上时，正好距离较远。 起点18公里。 求自行车队和摩托车的速度。
分析：第一次追上自行车队和第二次追上自行车队之间，摩托车行驶的距离为（18+9）公里，自行车行驶的距离为（18- 9）公里。 因此，摩托车的速度是自行车速度的3倍（=（18+9）÷（18-9））； 摩托车和自行车的速度差是自行车速度的2倍，然后以第一辆摩托车开始追击。 自行车队出发时，队伍已出发12分钟，即第一次追赶的距离差等于自行车在12分钟内行驶的距离，因此追赶时间等于12 ÷2=6（分钟）； 在距离起点较远的地方联系摩托车在9公里处追上自行车队后，我们可以知道摩托车在6分钟内行驶了9公里，因此可以计算出摩托车和自行车的速度。
解：(18+9)÷(18-9)=3（次）
12÷(3-1)=6(分钟)
9÷6=1.5（公里/分钟）
1.5÷3=0.5（公里/分钟）
答：摩托车和自行车的速度分别为1.5公里/分钟和0.5公里/分钟。
例8 A和B之间有一条路，A从A出发，步行到B，B骑摩托车从B出发，一直在A和B之间来回。他们同时出发，80 两个人相遇100分钟后第一次，B在100分钟后第一次追上A。 问：当A到达B时，B追上了A多少次？
从上图分析不难看出：从第一次相遇到第一次追上，B在100-80=20（分钟）内所走的距离正好等于线段FA的长度加上线段AE。 ，等于 A 在 (80+100) 分钟内行驶的距离。 因此，B的速度是A的9倍（=180÷20），那么BF的长度就是AF的9倍。 因此，A从A到B总共需要步行80×(1+9)=800(分钟)。 当B第一次追上A时，所用时间为100分钟，与A的距离差为一个AB全距离。 从他第一次追上A开始，从A时刻开始，每次追上A时B与A之间的距离差是两个完整的距离AB。 因此，追赶时间也变为200分钟(=100×2)。 因此，在A从A到B的800分钟内，B总共追赶A 4次云开·全站appkaiyun官网,，即第100分钟、第300分钟、第500分钟和第700分钟。
解：（略）。
练习7
1、解放军某先遣队从营区出发，以每小时6公里的速度向某地点进发。 6小时后2024欧洲杯,，军队出现紧急情况，派出记者骑着摩托车以时速78公里的速度与他们取得联系。 记者需要多长时间才能追上先遣队？
2.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家。 12分钟后，小强从学校出发，骑着自行车追小明。 结果，他在距离学校1000米的地方追上了小明。 求小强骑自行车的速度。
3. 两架飞机A和B同时从机场起飞，朝同一方向飞行。 A 机的时速为 300 公里，B 机的时速为 340 公里。 飞行4小时后相距多少公里？ 此时，A 机加快速度，用了 2 小时才追上 B 机，A 机每小时飞行多少公里？
4、两个人骑自行车从同一个地方出发，沿着900公里的环路行驶。 如果方向相反，2分钟后就会相遇。 如果他们朝同一个方向走，那么每 18 分钟，速度更快的就会追上来。 对于那些速度慢的人来说，你们两个骑得有多快？
5、环形跑道长400米。 甲以每分钟450米的速度骑自行车，乙以每分钟250米的速度跑步。 他们同时从同一个地方、同一个方向出发。 他们见面之前还有多少分钟？
6、上午8点08分，小明骑着自行车从家出发。 8分钟后，父亲骑着摩托车追赶他，在离家4公里处追上了他。 然后父亲就立刻回家了。 我立即回头去追小明。 当我再次追上他时，我已经离家整整8公里了。 我问现在几点了？
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